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灰色系统预测模型GM(1,1),GM(1,n)及Matlab实现

1.灰色系统的定义：

灰色系统指既含有已知信息又含有未知信息的系统。 2.灰色预测模型的定义： 对灰色系统进行预测的模型。 灰色模型（Grey Model，简称GM模型）一般表达方式为GM（n,x）模型，其含义是：用n阶微分方程对x个变量建立模型。 3.灰色预测模型的目的： 通过把分散在时间轴上的离散数据看成一组连续变化的序列，采用累加和累减的方式，将灰色系统中的未知因素弱化，强化已知因素的影响程度，最后构建一个以时间为变量的连续微分方程，通过数学方法确定方程中的参数，从而实现预测目的。 4.灰色系统预测模型的特点： 无需大量数据样本，短期预测效果好，运算过程简单。 5.灰色系统预测模型的不足： 对非线性数据样本预测效果差。

基于Matlab实现GM(1,1)模型程序：

clearsyms a u;c=[a,u]';%构成矩阵A=[15 16.1 17.3 18.4 18.7 19.6 19.9 21.3 22.5];%输入数据，可以修改Ago=cumsum(A);%原始数据一次累加,得到1-AGO序列xi(1)。n=length(A);%原始数据个数for k=1:(n-1)    Z(k)=(Ago(k)+Ago(k+1))/2; %Z(i)为xi(1)的紧邻均值生成序列endYn =A;%Yn为常数项向量Yn(1)=[]; %从第二个数开始，即x(2),x(3)...Yn=Yn';E=[-Z;ones(1,n-1)]';%累加生成数据做均值c=(E'*E)\(E'*Yn);%利用公式求出a，uc= c';a=c(1);%得到a的值u=c(2);%得到u的值F=[];F(1)=A(1);for k=2:(n)    F(k)=(A(1)-u/a)/exp(a*(k-1))+u/a;%求出GM(1,1)模型公式endG=[];G(1)=A(1);for k=2:(n)    G(k)=F(k)-F(k-1);%两者做差还原原序列，得到预测数据endt1=1:n;t2=1:n;plot(t1,A,'bo--');hold on;plot(t2,G,'r*-'); title('预测结果');legend('真实值','预测值');%后验差检验e=A-G;q=e/A;%相对误差s1=var(A);s2=var(e);c=s2/s1;%方差比len=length(e);p=0;  %小误差概率for i=1:len    if(abs(e(i))<0.6745*s1)        p=p+1;    endendp=p/len;

运行结果如下：

p=1；c=0.0148；预测等级为：好 从运行结果看，对于线性的数据使用GM(1,1)预测，其拟合效果还是不错。

【2】GM(1,n)模型及Matlab实现

1.GM（1,n）模型的预测原理：与GM(1,1)类似，不同在于输入数据变量是n个。 2. GM(1,n)模型的建模过程： 基于Matlab实现GM(1,n)预测模型的程序：

A=[560823,542386,604834,591248,583031,640636,575688,689637,570790,519574,614677];x0=[104,101.8,105.8,111.5,115.97,120.03,113.3,116.4,105.1,83.4,73.3;    135.6,140.2,140.1,146.9,144,143,133.3,135.7,125.8,98.5,99.8;    131.6,135.5,142.6,143.2,142.2,138.4,138.4,135,122.5,87.2,96.5;    54.2,54.9,54.8,56.3,54.5,54.6,54.9,54.8,49.3,41.5,48.9];[n,m]=size(x0);AGO=cumsum(A);T=1;x1=zeros(n,m+T); for k=1:(m-1)    Z(k)=(AGO(k)+AGO(k+1))/2; %Z(i)为xi(1)的紧邻均值生成序列endfor i=1:n    for j=1:m        for k=1:j            x1(i,j)=x1(i,j)+x0(i,k);%原始数据一次累加,得到xi(1)        end    endendx11=x1(:,1:m);X=x1(:,2:m)';%截取矩阵Yn =A;%Yn为常数项向量Yn(1)=[]; %从第二个数开始，即x(2),x(3)...Yn=Yn';%Yn=A(:,2:m)';B=[-Z',X];C=((B'*B)\(B'*Yn))';%由公式建立GM(1,n)模型a=C(1);b=C(:,2:n+1);F=[];F(1)=A(1);u=zeros(1,m);for i=1:m    for j=1:n        u(i)=u(i)+(b(j)*x11(j,i));    endendfor k=2:m    F(k)=(A(1)-u(k-1)/a)/exp(a*(k-1))+u(k-1)/a;endG=[];G(1)=A(1);for k=2:m    G(k)=F(k)-F(k-1);%两者做差还原原序列，得到预测数据endt1=1:m;t2=1:m;plot(t1,A,'bo--');hold on;plot(t2,G,'r*-'); title('销售预测结果');legend('真实值','预测值');

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